Задача 34906

Темы:    [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Условие

В клетки таблицы 8×8 записаны числа 1 и –1 так, что в каждой строке, в каждом столбце и на каждой диагонали (в частности, в угловых клетках) произведения чисел равны 1. Какое максимальное число минус единиц при этом возможно?

Подсказка

Рассмотрите диагонали, содержащие нечётное количество клеток.

Решение

В каждом указанном в условии ряду должно быть чётное число минус единиц. Рассмотрим все диагонали, содержащие нечётное количество клеток. Их 16, и никакие две из них не имеют общих клеток. На каждой из них должна быть хотя бы одна единица, поэтому число единиц не меньше 16, и следовательно, число минус единиц не больше 48. Пример с 48 минус единицами показан на рисунке (закрашены клетки, где стоят единицы).

Ответ

48.

Источники и прецеденты использования

web-сайт

задача