ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 34902
Темы:    [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]
[ Обыкновенные дроби ]
[ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ]
[ Делимость чисел. Общие свойства ]
[ Принцип крайнего (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма всех чисел вида 1/mn, где m и n – натуральные числа,  1 < m < n < 1986,  не является целым числом.


Подсказка

Среди чисел m и n найдите числа, делящиеся на максимально возможную степень тройки.


Решение

Среди чисел от 1 до 1986 имеются ровно два –  729 = 36  и  1458 = 2·36,  – делящиеся на 36; наибольшая степень 3, на которые могут делиться остальные числа – 35. Таким образом, всевозможные произведения mn  (1 < m < n <1986),  за исключением  729·1458 = 2·312,  содержат множителем число 3 самое большее в степени 11. Приведя сумму всех дробей 1/mn, кроме  1/729·1458,  к общему знаменателю, мы получим дробь вида     где a и b – натуральные числа, причём b не делится на 3. Пусть s – сумма, рассматриваемая в задаче, тогда     или  2·312sb – 6a = b.  При целом s левая часть кратна 3, а правая – нет. Поэтому s не может быть целым.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .