Условие
а) 2000 фишек расположены на плоскости в вершинах
выпуклого 2000-угольника. За один ход можно разбить их на две группы
и
фишки первой группы сдвинуть на какой-нибудь вектор, а остальные
фишки оставить на месте. Может ли случиться, что после 9
ходов все фишки окажутся на одной прямой?
б) А после 10 ходов?
Подсказка
Если после n-го хода фишки лежали на
k прямых, то после (n-1)-го хода они должны были лежать на
2k прямых.
Решение
а) Если после n-го хода фишки оказались на
одной прямой, то после (n-1)-го хода они должны были лежать на
двух прямых, после (n-2)-го - на 4-х прямых, и т.д., а
изначально - должны лежать на 2
n прямых. Поскольку никакие
три вершины выпуклого многоугольника не лежат на одной прямой,
наименьшее число прямых, содержащих все вершины 2000-угольника,
равно 1000. Значит, 2
n не меньше 1000, откуда
n не меньше 10, что решает
пункт а).
б) Рассмотрим 1024 параллельные прямые, расстояния между
соседними среди которых равно 1. Расположим на этих прямых
вершины выпуклого 2000-угольника. Векторы сдвига будем брать
перпендикулярными прямым и будем каждым ходом совмещать пары
соседних прямых так, что через 10 ходов останется лишь одна
прямая.
Источники и прецеденты использования
