Версия для печати
Убрать все задачи

---

На сторонах AB, BC, CD и AD выпуклого четырёхугольника ABCD расположены точки M, N, K и L соответственно, причём AM : MB = 3 : 2, CN : NB = 2 : 3, CK = KD и AL : LD = 1 : 2. Найдите отношение площади шестиугольника MBNKDL к площади четырёхугольника ABCD.

   Решение

Тема:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3 Классы:

Прислать комментарий

Условие

Можно ли расставить числа 1, 2, ..., 50 в вершинах и серединах сторон правильного 25-угольника так, чтобы сумма трёх чисел, стоящих в концах и середине каждой стороны, была для всех сторон одинаковой?

Подсказка

Расставьте числа 1, 2, ..., 25 по порядку в серединах сторон.

Решение

Обозначим вершины 25-угольника A₁, A₂, ..., A₂₅ по ходу часовой стрелки. Расставим числа 1, 2, ..., 25 по порядку в серединах сторон: в середине стороны A₁A₂ стоит число 1, в середине стороны A₂A₃ стоит число 2, и т.д. Числа 26, ..., 50 начнём расставлять с вершины A₂₅ против часовой стрелки, пропуская каждый раз одну вершину: в вершине A₂₅ – число 26, в вершине A₂₃ – 27, в вершине A₂₁ – 28 и т.д. Поскольку 25 – нечётное число, мы обойдём все вершины 25-угольника. Нетрудно проверить, что полученная расстановка – искомая.

Ответ

Можно.

Источники и прецеденты использования