Условие
За круглым столом сидят несколько гостей.
Некоторые из них знакомы
между собой; знакомство взаимно.
Все знакомые любого гостя (считая его
самого) сидят вокруг стола через равные промежутки.
(Для другого
человека эти промежутки могут быть другими.)
Известно, что любые двое
имеют хотя бы одного общего знакомого.
Докажите, что все гости знакомы
друг с другом.
Подсказка
Вначале докажите, что найдется человек, знакомый со всеми остальными.
Решение
Заметим, что если у человека есть знакомые, сидящие рядом
(в частности, если он знаком со своим соседом), то этот человек
знаком
со всеми. Докажем, что такой гость найдется. Пусть A и B - двое
соседей. Если они не знакомы между собой, то их общий знакомый C
знаком со всеми, так как его знакомые сидят без промежутков.
В
противном случае знаком со всеми человек A (по той же причине).
Итак, пусть X - гость, знакомый со всеми. Тогда его соседи тоже
знакомы со всеми, так как они знакомы с X (являющимся для них
соседом). Соседи этих соседей также знакомы со всеми,
и так далее по
кругу в обе стороны.
Источники и прецеденты использования
