|
|
 |
Условие
Найдите натуральное число, большее единицы, которое встречается в треугольнике Паскаля
а) больше трёх раз.
б) больше четырёх раз.
Решение
а) Таким будет любое число вида где 1 < k < n/2. Оно встречается дважды в n-й строке и дважды в m-й строке. Наименьшее из этих чисел –
б) Первый способ. Просматривая первые строки треугольника Паскаля, заметим, что Это число по два раза встречается в 10-й, 16-й и 120-й строках.
Второй способ. Будем искать число, которое представляется как в виде так и виде
Тогда 12n(n – 1) = (m² – 1)(m² – 2m). Предположим, что 3n = m² – 2m, а 4(n – 1) = m² – 1. Вычитая, получим n = 2m + 3. Подставив в первое уравнение, получим m² – 8m + 9 = 0, то есть m = 9, n = 21. Значит,
Таким образом, число 210 по два раза встречается в 10-й, 21-й и 210-й строках.
Третий способ. Будем искать три числа вида m, 2m, 3m, стоящие подряд в одной строке (тогда число 3m = m + 2m встретится также в следующей строке). Если то
а
Итак, 2k + 2 = n – k, 3k + 6 = 2n – 2k – 2. Решив систему, находим k = 4, n = 14. Итак, число
по два раза встречается в 14-й, 15-й (как
) и 3003-й строках.
Ответ
а) Например, 10, 15, 21. б) Например, 120, 210, 3003.
Источники и прецеденты использования
| Кружок | |
| Название | ВМШ 57 школы |
| класс | |
| Класс | 7 |
| год | |
| Год | 1999/00 |
| Место проведения | 57 школа |
| занятие | |
| Номер | 8 |
| Название | Треугольник Паскаля |
| Тема | Треугольник Паскаля и бином Ньютона |
| задача | |
| Номер | 02 |
