|
|
 |
Условие
Барон Мюнхгаузен заявил Георгу Кантору, что он может выписать в ряд все натуральные числа без единицы так, что только конечное их число будет больше своего номера. Не хвастает ли барон?
Решение
Пусть a1, a2, a3, ... – выписанные в ряд все натуральные числа без единицы. Построим для этого новую последовательность (bn) натуральных чисел, заданную следующим образом: b1 = 1, bn+1 = abn при n ≥ 2.
Докажем, что все члены последовательности (bn) различны. Действительно, пусть bk = bm , причём k > m > 1, то abk–1 = abm–1, откуда
bk–1 = bm–1, так как все члены последовательности (an) различны. Продолжая, получим bk–2 = bm–2, ..., bk–m+1 = b1, то есть abk–m = 1. Противоречие: последовательность (an) не содержит единицы.
Так как (bn) – бесконечная последовательность различных натуральных чисел, то в ней существует бесконечно много членов, больших предыдущего (в противном случае она бы убывала, начиная с некоторого места, что невозможно). Иными словами, bk+1 > bk, то есть abk > bk для бесконечного числа k. А это и значит, что бесконечное число членов последовательности (an) больше своего номера.
Ответ
Хвастает.
Замечания
Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.
