|
|
 |
Условие
Восстановите а) треугольник; б) пятиугольник по серединам его сторон.
Решение
а) Пусть ABC – искомый треугольник, A', B', C' – данные середины его сторон BC, CA и AB соответственно (рис. слева). Тогда AB || A'B', BC || B'C',
AC || A'C'.
Через точку A' проведём прямую a || B'C', через точку B' – прямую b || A'C', через точку C' – прямую c || A'B'. Треугольник ABC, ограниченный прямыми a, b и c, будет искомым.
Действительно AC'A'B' и BC'B'A' – параллелограммы. Поэтому AC' = B'A' = C'B, то есть C' – середина стороны AB. Аналогично B' – середина AC, а A' – середина BC.
Задача имеет единственное решение во всех случаях, когда данные три точки не лежат на одной прямой.
б) Пусть ABCDE – искомый пятиугольник, A', B', C', D' и E' – данные середины его сторон CD, DE и EA, AB и BC соответственно (рис. справа). По свойству средней линии треугольника
Отсюда вытекает следующий способ построения. Выбираем произвольную точку A1. Находим точки C1, E1, B1 и D1, откладывая последовательно векторы Искомый пятиугольник ABCDE получается из пятиугольника A1B1C1D1E1 параллельным переносом. Вектор переноса можно взять с началом в середине стороны A1B1 и концом в точке D.
Задача имеет единственное решение, если полученные точки A1, B1, C1, D1 и E1 являются последовательными вершинами пятиугольника (другими словами, замкнутая ломаная A1B1C1D1E1A1 не самопересекающаяся).
Замечания
Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.
