Задача 32070

Темы:    [ Обратный ход ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4- Классы: 7,8,9

Условие

Точку внутри квадрата соединили с вершинами – получились четыре треугольника, один из которых равнобедренный с углами при основании (стороне квадрата) 15°. Докажите, что противоположный ему треугольник правильный.

Решение

  Обозначим наш квадрат ABCD, а данную внутри него точку M. Пусть  ∠MDC = ∠MCD = 15°.
  Решим обратную задачу. Построим на стороне AB квадрата равносторонний треугольник ABN так, чтобы вершина N лежала внутри квадрата (см. рис.).

  Треугольник CNB – равнобедренный. Его угол при вершине B равен 30°, следовательно, угол при основании равен  (180° – 30°) : 2 = 75°.  Отсюда
∠DCN = 90° – 75° = 15°.  Аналогично,  ∠CDN = 15°.  Значит, точка N лежит на луче CM и на луче DM и, тем самым, совпадает с M.

Замечания

Источник решения: книга В.О. Бугаенко "Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике". МЦНМО-ЧеРо. 1998.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
задача
олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	09
Дата	1986
задача
Номер	12