Задача 32023

Темы:    [ Арифметическая прогрессия ] [ Принцип крайнего (прочее) ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

Условие

а) Дано шесть натуральных чисел. Все они различны и дают в сумме 22. Найти эти числа и доказать, что других нет.

б) Тот же вопрос про 100 чисел, дающих в сумме 5051.

Решение

Расположим числа в порядке возрастания. Тогда очевидно, что каждое число будет больше своего номера. Найдем сумму номеров всех чисел: а) 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21; б) 1 + 2 +  …  + 100 = 5050. (Последнюю сумму можно посчитать следующим способом: (1 + 100) + (2 + 99) +  …  + (50 + 51) = 50 • 101 = 5050.) В обоих случаях эта сумма на единицу меньше суммы самих чисел. Значит, одно число на единицу больше своего номера, а остальные — равны ему. Числом, большим своего номера, может быть только последнее. Действительно, если какое-то число больше своего номера, то все последующие числа тоже больше своего номера. Поэтому искомыми числами будут в пункте а) 1, 2, 3, 4, 5, 7; а в пункте б) — 1, 2, …, 99, 101.

Замечания

Источник решения: книга "В.О.Бугаенко. Турниры им. Ломоносова. Конкурсы по математике. МЦНМО-ЧеРо. 1998".

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир им.Ломоносова
год/номер
Номер	05
Дата	1982
задача
Номер	04