Задача 30926

Темы:    [ Системы алгебраических неравенств ] [ Средние величины ] [ Разложение на множители ]

Сложность: 4- Классы: 6,7

Условие

a, b, c, d – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств
  1)  a + b < c + d;
  2)  (a + b)cd < ab(c + d);
  3)  (a + b)(c + d) < ab + cd
неверно.

Решение

  Можно считать, что  a ≤ b  и  c ≤ d.  Первое неравенство означает, что среднее арифметическое чисел a и b меньше среднего арифметического чисел c и d; отсюда, в частности, следует, что  a < d.  Второе неравенство означает, что среднее гармоническое чисел a и b больше среднего гармонического чисел c и d; отсюда, в частности, следует, что  c < b.
  Третье неравенство можно записать в виде  (a – d)(b – c) > bc + ad > 0,  откуда следует, что числа  d – a  и  b – c  – разных знаков. Но это противоречит ранее полученным неравенствам.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	16
Название	Неравенства
Тема	Алгебраические неравенства и системы неравенств
задача
Номер	083