Задача 30713

Темы:    [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Целочисленные решетки (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что каждое число a в треугольнике Паскаля равно
  а) сумме чисел предыдущей правой диагонали, начиная с самого левого вплоть до стоящего справа над числом a.
  б) сумме чисел предыдущей левой диагонали, начиная с самого правого вплоть до стоящего слева над числом a.

Решение

а) Число a равно количеству путей, ведущих из вершины O треугольника Паскаля к месту A, где стоит число a (см. задачу 30710). Каждый такой путь проходит через указанную правую диагональ. Пусть на ней в точках  B₀, B₁, ..., B_k  выше точки А стоят числа  b₀, b₁, ..., b_k.  Точки O и B_i соединяет b_i путей. Каждый из них можно единственным способом довести до A: перейти на следующую диагональ и спуститься по ней к точке A. Поэтому
a = b₀ + b₁ + ... + b_k.

Замечания

1. Можно также вести индукцию по количеству чисел на диагонали.

2. Пункт б) доказывается аналогично. См. также различные доказательства равенства д) в задаче 60413.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Комбинаторика-2
Тема	Классическая комбинаторика
задача
Номер	027
книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Комбинаторика-2
Тема	Классическая комбинаторика
задача
Номер	028