Задача 30711

Темы:    [ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ] [ Мощность множества. Взаимно-однозначные отображения ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Докажите, что из n предметов чётное число предметов можно выбрать 2^n–1 способами.

Решение 1

Зафиксируем один из предметов – a. Разобьём все возможные подмножества предметов на пары: в каждой паре одно из подмножеств содержит a, а второе – нет; а в остальном они совпадают. В каждой паре одно из подмножеств – "чётное", а второе – "нечётное". Поэтому количество "чётных" подмножеств составляет половину от количества всех подмножеств, а их 2ⁿ (см. задачу 30708).

Решение 2

Сумма чисел, стоящих на чётных местах в n-й строке треугольника Паскаля, равна сумме чисел, стоящих на нечётных местах той же строки (см. решение 2 задачи 30712).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	11
Название	Комбинаторика-2
Тема	Классическая комбинаторика
задача
Номер	025