Задача 30598

Тема:    [ Арифметика остатков (прочее) ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

Докажите, что ни одно из чисел вида 10³ⁿ⁺¹ нельзя представить в виде суммы двух кубов натуральных чисел.

Решение

Куб натурального числа сравним по модулю 7 либо с 0, либо с ±1. Поэтому сумма двух кубов сравнима с одним из следующих чисел: ±2, ±1, 0.
А  10³ⁿ⁺¹ = 1000ⁿ·10 ≡ (–1)ⁿ·3 = ±3 (mod 7).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Генкин С.А., Итенберг И.В., Фомин Д.В.
Год издания	1994
Название	Ленинградские математические кружки
Издательство	Киров: "АСА"
Издание	1
глава
Номер	10
Название	Делимость-2
Тема	Теория чисел. Делимость
задача
Номер	012