ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116931
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Четность и нечетность ]
Сложность: 3
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Даны натуральные числа M и N, большие десяти, состоящие из одинакового количества цифр и такие, что  M = 3N.  Чтобы получить число M, надо в числе N к одной из цифр прибавить 2, а к каждой из остальных цифр прибавить по нечётной цифре. Какой цифрой могло оканчиваться число N?


Решение

  Число  A = M – N = 2N  чётно. Но, по условию, число A составлено из нечётных цифр и двойки. Значит, A оканчивается на 2. Поэтому вдвое меньшее число N оканчивается либо на 1, либо на 6.
  Если N оканчивается на 1, то при его удвоении не происходит переноса десятка из последнего в предпоследний разряд. Значит, предпоследняя цифра числа  A = 2N  будет чётной, а она должна быть нечётной. Противоречие.


Ответ

Цифрой 6.

Замечания

Пары чисел N и M, удовлетворяющие условию, существуют, например,  N = 16,  M = 48.  Более того, таких пар бесконечно много. Все подходящие числа N описываются так: первая цифра – 1 или 2, далее несколько (возможно, ноль) цифр, каждая из которых равна 5 или 6, и последняя цифра 6.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2012-2013
этап
1
Вариант 4
класс
Класс 10
Задача
Номер 10.1
олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2012-2013
этап
1
Вариант 4
класс
Класс 9
Задача
Номер 9.1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .