Задача 116895

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Свойства симметрий и осей симметрии ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Блинков А.Д.

Точка M – середина основания AC остроугольного равнобедренного треугольника ABC. Точка N симметрична M относительно BC. Прямая, параллельная AC и проходящая через точку N, пересекает сторону AB в точке K. Найдите угол AKC.

Решение

Пусть L – точка пересечения NK и BC (см. рис.).

Ясно, что  AM = MC = CN  и  ∠MCB = ∠NCB.  Но и  ∠CLN = ∠LCM  (поскольку  LN || AC),  а значит, треугольник CNL равнобедренный, и
LN = CN = AM.  Следовательно, отрезки AM и LN параллельны и равны, поэтому ALNM – параллелограмм, и  AL || MN ⊥ LC.  Наконец, из симметрии треугольника относительно высоты BM получаем  ∠AKC = ∠ALC = 90°.

Ответ

90°.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Олимпиада по геометрии имени И.Ф. Шарыгина
год
Год	2012
класс
Класс	8
задача
Номер	8.1