ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116869
Темы:    [ Исследование квадратного трехчлена ]
[ Разложение на множители ]
Сложность: 3
Классы: 9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Квадратный трёхчлен  ax² + 2bx + c  имеет два различных корня, а квадратный трёхчлен  a²x² + 2b²x + c²  корней не имеет.
Докажите, что у первого трёхчлена корни разного знака.


Решение

  Пусть x1, x2, D1 – корни и упрощённый дискриминант первого трёхчлена, D2 – упрощенный дискриминант второго трёхчлена.
  По теореме Виета  x1x2 = c/a,  поэтому достаточно доказать неравенство  ac < 0.
  У первого трёхчлена есть два различных корня, поэтому  D1 = b² – ac > 0.  У второго трёхчлена корней нет, поэтому  D2 = b4a²c² < 0.
Так как  b4a²c² = (b² – ac)(b² + ac),  то  b² + ac < 0.  Тем более,  ac < 0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2012
класс
Класс 10
Задача
Номер 10.2

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .