Задача 116856

Темы:    [ Турниры и турнирные таблицы ] [ Сочетания и размещения ] [ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Десять футбольных команд сыграли каждая с каждой по одному разу. В результате у каждой команды оказалось ровно по х очков.
Каково наибольшее возможное значение х? (Победа – 3 очка, ничья – 1 очко, поражение – 0.)

Решение

  Оценка. В каждом матче разыграно либо 3, либо 2 очка. Всего было сыграно  10·9 : 2 = 45  матчей, значит, разыграно не более, чем 135 очков. Таким образом,  10х ≤ 135,  то есть  х ≤ 13,5.  Так как х – целое число, то х ≤ 13.
  Пример. Расположим команды по кругу и разобьём их последовательно на 5 пар. Пусть команды каждой пары сыграли между собой вничью, каждая из них выиграла у четырёх команд, следующих за данной парой по часовой стрелке, а остальным командам проиграла. Тогда каждая команда набрала ровно 13 очков.

Ответ

13.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Окружная олимпиада (Москва)
год
Год	2012
класс
Класс	8
Задача
Номер	8.5