|
|
 |
Условие
Могут ли все корни уравнений x² – px + q = 0 и x² – (p + 1)x + q = 0 оказаться целыми числами, если:
а) q > 0;
б) q < 0?
Решение
а) Например, корни уравнений x² – 7x + 12 = 0 и x² – 8x + 12 = 0 – целые (соответственно 3 и 4, 2 и 6).
б) Каждое из данных уравнений имеет корни разных знаков.
Пусть x1 > 0 и –x2 < 0 – корни первого уравнения, а x3 > 0 и x4 < 0 – корни второго. По теореме Виета x1x2 = x3x4 = –q. Кроме того, x1 ≠ x3, иначе x2 = x4, а одинаковые наборы корней данные уравнения иметь не могут. Пусть x1 < x3, тогда x2 > x4 (случай, когда x1 > x3 рассматривается аналогично). Так как все корни – целые числа, то x3 – x1 ≥ 1 и x2 – x4 ≥ 1. Но x1 – x2 = p и
x3 – x4 = p + 1. Тогда 1 = (p + 1) – р = (x3 – x4) – (x1 – x2) = (x3 – x1) + (x2 – x4) ≥ 2. Противоречие.
Ответ
а) Могут; б) не могут.
