ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116845
Темы:    [ Процессы и операции ]
[ Шахматная раскраска ]
[ Инварианты ]
Сложность: 3
Классы: 6,7
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В клетках квадрата 3×3 расставлены числа (рис. слева). Разрешается к числам, стоящим в двух соседних клетках, одновременно прибавлять одно и то же число, не обязательно положительное. Можно ли в какой-то момент получить такой квадрат с числами, как на рисунке справа? (Клетки считаются соседними, если имеют общую сторону.)


Решение

Раскрасим все клетки в шахматном порядке (см. рисунок).

Назовём числа белыми (чёрными), если они стоят на белых (чёрных) клетках. Заметим, что в исходном квадрате сумма белых чисел равна сумме чёрных. Прибавляя к числам, стоящим в соседних клетках, одно и то же число, мы одинаково изменяем сумму белых и сумму чёрных чисел. Поэтому равенство сумм не нарушится. Но во втором квадрате сумма белых чисел равна 0, а сумма чёрных равна 4. Поэтому такой квадрат не может получиться из исходного.


Ответ

Нельзя.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Окружная олимпиада (Москва)
год
Год 2012
класс
Класс 7
Задача
Номер 7.5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .