|
|
 |
Условие
Докажите, что можно на каждом ребре произвольного тетраэдра записать по неотрицательному числу так, чтобы сумма чисел на сторонах каждой грани численно равнялась её площади.
Решение 1
Пусть площадь наименьшей грани равна s, наибольшей – S, а двух оставшихся граней – a и b. Напишем на стороне, общей для наименьшей и наибольшей граней, число s, а на остальных двух рёбрах наименьшей грани – по нулю. На двух других других рёбрах наибольшей грани напишем числа ½ (S – b + a – s) и ½ (S – a + b – s) (каждое из них неотрицательно как сумма двух неотрицательных чисел). Наконец на единственном пока ещё пустом ребре напишем число ½ (a + b + s – S) (оно неотрицательно, так как проекции трёх граней покрывают четвёртую, а площадь грани не меньше площади её проекции на другую грань). Нетрудно проверить, что условие выполнено.
Решение 2
Впишем в тетраэдр сферу и рассмотрим все треугольники, образованные какой-то парой вершин тетраэдра и точкой касания сферы с гранью, содержащей эти вершины. К каждому ребру тетраэдра примыкает по два таких треугольника (см. рисунок).
Замечания
Ср. с задачей 116815.
