ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116816
Темы:    [ Сфера, вписанная в тетраэдр ]
[ Задачи с неравенствами. Разбор случаев ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что можно на каждом ребре произвольного тетраэдра записать по неотрицательному числу так, чтобы сумма чисел на сторонах каждой грани численно равнялась её площади.


Решение 1

Пусть площадь наименьшей грани равна s, наибольшей – S, а двух оставшихся граней – a и b. Напишем на стороне, общей для наименьшей и наибольшей граней, число s, а на остальных двух рёбрах наименьшей грани – по нулю. На двух других других рёбрах наибольшей грани напишем числа  ½ (S – b + a – s)  и  ½ (S – a + b – s)  (каждое из них неотрицательно как сумма двух неотрицательных чисел). Наконец на единственном пока ещё пустом ребре напишем число   ½ (a + b + s – S)  (оно неотрицательно, так как проекции трёх граней покрывают четвёртую, а площадь грани не меньше площади её проекции на другую грань). Нетрудно проверить, что условие выполнено.


Решение 2

Впишем в тетраэдр сферу и рассмотрим все треугольники, образованные какой-то парой вершин тетраэдра и точкой касания сферы с гранью, содержащей эти вершины. К каждому ребру тетраэдра примыкает по два таких треугольника (см. рисунок).

Они равны по трём сторонам. Напишем на каждом ребре площадь примыкающего к нему треугольника. Сумма чисел на сторонах грани – это сумма площадей трёх треугольников, на которые эта грань разбивается, то есть как раз площадь грани.

Замечания

Ср. с задачей 116815.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2012
задача
Номер 8

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .