Задача 116804

Темы:    [ Неравенства для углов треугольника ] [ Против большей стороны лежит больший угол ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 3 Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Мурашкин М.В.

В остроугольном треугольнике ABC проведены биссектриса AD и высота BE. Докажите, что  ∠CED > 45°.

Решение 1

Из точки D опустим перпендикуляры DM, DN и DK на прямые АС, АВ и ВE соответственно (см. рис.).

Так как AD – биссектриса, то  DM = DN > DK  (все перпендикуляры лежат внутри треугольника АВС, поскольку он остроугольный). Так как DMEK – прямоугольник, то  ∠CED > 45°.

Решение 2

Проведём биссектрису прямого угла ВЕС (см. рис.). Пусть она пересечёт луч AD в точке О. Достаточно показать, что  ∠CED > ∠СЕО,  то есть что точка О лежит вне треугольника АВС.

Заметим, что О – центр вневписанной окружности треугольника АВЕ, так как является пересечением его внутренней и внешней биссектрис. Значит, ВО – также биссектриса внешнего угла этого треугольника. Тогда  ∠АВО = ∠АВЕ + ∠EВO = 90° – ∠А + ½ (90° + ∠А) = 135° – ½ ∠А > 90° > ∠B,  так как углы А и В – острые. Следовательно, точка О действительно лежит вне треугольника АВС.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Всероссийская олимпиада по математике
год
Год	2006
Этап
Вариант	4
Класс
Класс	9
задача
Номер	06.4.9.6
олимпиада
Название	Московская математическая регата
год
Год	2012/13
класс
Класс	9
задача
Номер	9.4.2