Задача 116765
|
|
 |
Условие
Каждые два из действительных чисел a1, a2, a3, a4, a5 отличаются не менее чем на 1. Оказалось, что для некоторого действительного k выполнены равенства Докажите, что k² ≥ 25/3.
Решение
Без ограничения общности можно считать, что a1 < ... < a5. По условию, ai+1 – ai ≥ 1 при всех i = 1, 2, 3, 4. Значит, aj – ai ≥ j – i при всех
1 ≤ i < j ≤ 5. Возведём каждое из полученных неравенств в квадрат и сложим. Получим
то есть
С другой стороны, по условию
Складывая (1) и (2), получаем откуда 6k² ≥ 50.
Замечания
Условию задачи удовлетворяют, например, числа
Таким образом, число 25/3 в условии нельзя заменить на большее.
