ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116727
Темы:    [ Куб ]
[ Ломаные внутри квадрата ]
[ Неравенство Коши ]
[ Симметриия и неравенства и экстремумы ]
Сложность: 4-
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Внутри каждой грани единичного куба выбрали по точке. Затем каждые две точки, лежащие на соседних гранях, соединили отрезком.
Докажите, что сумма длин этих отрезков не меньше, чем    .


Решение

  Спроектируем четыре отрезка, соединяющие точки, лежащие на боковых гранях, на нижнюю грань куба. При этом длины отрезков не увеличатся. Мы получили четырёхугольник, вписанный в единичный квадрат. Докажем, что его периметр не меньше    .   Аналогично оцениваются суммы длин еще двух четвёрок отрезков.
  Проекция отрезка отсекает от квадрата прямоугольный треугольник и служит его гипотенузой. Из неравенства  2(a2 + b2) ≥ (a + b)2  следует, что длина гипотенузы не меньше полусуммы катетов, умноженной на    .   Поэтому сумма длин четырёх этих проекций не меньше полупериметра грани, умноженного на    ,   то есть не меньше   .

Замечания

1. Можно также сослаться на известный факт: периметр четырёхугольника, вписанного в прямоугольник (по вершине на каждой стороне), не меньше удвоенной диагонали прямоугольника (см. задачу 108606).

2. 6 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2011/2012
Номер 33
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .