|
|
 |
Условие
Существуют ли три взаимно простых в совокупности натуральных числа, квадрат каждого из которых делится на сумму двух оставшихся?
Решение 1
Предположим такие числа a, b, c нашлись. Заметим, что числа a + b, b + c, c + a попарно взаимно просты. В самом деле, пусть, скажем, числа
a + b, b + c делятся на некоторое простое p. Поскольку c² делится на a + b, а a² – на b + c, то числа c и a также кратны p, а тогда и b = (a + b) – a кратно p, что противоречит условию.
Число (a + b + c)² = a² + (b + c)(2a + b + c) делится на b + c. Аналогично оно делится на a + b и на c + a, а значит, и на (a + b)(a + c)(b + c); в частности, (a + b + c)² ≥ (a + b)(a + c)(b + c). С другой стороны, ясно, что все числа a, b, c не меньше 2, поэтому
(a + b)(b + c)(c + a) = (a²b + b²c + c²a) + (ab² + bc² + ca²) + 2abc > (2a² + 2b² + 2c²) + (2ab + 2bc + 2ca) > (a + b + c)². Противоречие.
Решение 2
В решении 1 доказано, что числа a + b, b + c, c + a попарно взаимно просты. Пусть a ≥ b ≥ c. Заметим, что число b² + c² – a² = (b + a)(b – a) + c² кратно b + a; аналогично оно кратно c + a;. Значит, b² + c² – a² делится на (a + b)(a + c).
С другой стороны, – (a + b)(a + c) < – a² < b² + c<² – a² ≤ a² < (a + b)(a + c). Следовательно, b² + c² – a² = 0, то есть a² = b² + c².
Итак, a² = b² + c² делится на b + c. Тогда число 2b2 = (b² + c²) + (b – c)(b + c) также делится на b + c. Поскольку числа b и b + c взаимно просты, 2 делится на b + c, откуда b = c = 1. Противоречие.
Ответ
Не существуют.
