ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116585
Темы:    [ Свойства симметрий и осей симметрии ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Отрезок, видимый из двух точек под одним углом ]
[ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

На стороне AC треугольника ABC отметили произвольную точку D. Точки E и F симметричны точке D относительно биссектрис углов A и C соответственно. Докажите, что середина отрезка EF лежит на прямой A0C0, где A0 и C0 – точки касания вписанной окружности треугольника ABC со сторонами BC и AB соответственно.


Решение 1

  Пусть B0 – точка касания вписанной окружности со стороной AC. Точки A0 и C0 симметричны точке B0 относительно биссектрис углов C и A соответственно. Можно считать, что точка D лежит на отрезке AB0. Тогда точка E лежит на отрезке AC0, а точка F – на продолжении отрезка CA0, и
EC0 = DB0 = FA0.
  Обозначим через M точку пересечения прямых EF и A0C0 (она лежит на отрезке EF). Отметим на прямой A0C0 точку G так, чтобы отрезки FG и AB были параллельны. Тогда треугольник GFA0 подобен равнобедренному треугольнику C0BA0, значит,  FG = FA0 = EC0.  Из параллельности имеем
FEC0 = ∠EFG  и  ∠EC0G = ∠FGC0.  Поэтому треугольники EC0M и FGM равны по стороне и двум углам, и  EM = MF.


Решение 2

  Пусть I – центр вписанной окружности, M – точка пересечения прямых EF и A0C0. Прямоугольные треугольники IC0E и IA0F равны по двум катетам. Поэтому  ∠EIC0 = ∠FIA0,  значит, углы EIF и C0IA0 при вершинах равнобедренных треугольников EIF и C0IA0 равны. Следовательно, равны и углы IEF и IC0A0 при их основаниях, то есть точки I, C0, E и M лежат на одной окружности. Поскольку угол IC0E прямой, то и угол IME прямой, то есть IM – высота, а значит, и медиана равнобедренного треугольника EIF.


Решение 3

Пусть точка D движется с постоянной (равной 1) скоростью от A к C. Тогда точка E движется с той же скоростью от A к B, а F – с той же скоростью по прямой BC (в направлении   ).  При этом середина K отрезка EF движется с постоянной скоростью, равной полусумме единичных векторов, коллинеарных    и   ,   (см. решение 2 задачи 56471), то есть параллельно биссектрисе внешнего угла B. Эта биссектриса параллельна основанию равнобедренного треугольника A0BC0. В момент, когда D совпадёт с B0, точки E и F совпадут с точками C0 и A0, а точка K0 – с серединой отрезка A0C0. Значит, точка K движется по прямой A0C0.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2011-2012
Этап
Вариант 4
Класс
Класс 9
Задача
Номер 9.7

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .