ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116568
Темы:    [ Серединный перпендикуляр к отрезку (ГМТ) ]
[ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
[ Угол между касательной и хордой ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ]
[ Свойства биссектрис, конкуррентность ]
[ Свойства симметрий и осей симметрии ]
Сложность: 4
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Остроугольный треугольник ABC вписан в окружность ω. Касательные к ω, проведённые через точки B и C, пересекают касательную к ω, проведённую через точку A, в точках K и L соответственно. Прямая, проведённая через K параллельно AB, пересекается с прямой, проведённой через L параллельно AC, в точке P. Докажите, что  BP = CP.


Решение 1

Пусть O – центр окружности w, а X – точка пересечения прямых BC и PL. Точки A и B симметричны относительно прямой OK, поэтому
OKAB || KP.  Аналогично  OLLP.  Значит, K и L лежат на окружности с диаметром OP, и  ∠OPL = ∠OKL.  Из касания вытекает, что
KAB = ∠ACB = ∠PXB.  Таким образом,  ∠OPX + ∠PXB = ∠OKL + ∠KAB = 90°,  то есть точка P лежит на серединном перпендикуляре к отрезку BC.


Решение 2

Пусть прямые BK и CL пересекаются в точке M. Прямая KP, параллельная основанию равнобедренного треугольника ABK, является биссектрисой внешнего угла при вершине K. Аналогично LP – биссектриса внешнего угла при вершине L. Следовательно, P – центр вневписанной окружности треугольника KLM, касающейся стороны KL и поэтому лежит на биссектрисе угла M. Поскольку  MB = MC,  точки B и C симметричны относительно этой биссектрисы. Значит, и отрезки PB и PC также симметричны.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Всероссийская олимпиада по математике
год
Год 2010-2011
Этап
Вариант 4
класс
Класс 11
Задача
Номер 11.6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .