Задача 116520

Темы:    [ Правильный тетраэдр ] [ Сечения, развертки и остовы (прочее) ] [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Равные треугольники. Признаки равенства (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 10,11

Условие

Тело в форме тетраэдра ABCD с одинаковыми рёбрами поставлено гранью ABC на плоскость. Точка F – середина ребра CD, точка S лежит на прямой AB,  S ≠ A,  AB = BS.  В точку S сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку F, чтобы пройденный им путь был минимальным?

Решение

  Предположим, что путь муравья проходит через точку M, лежащую на прямой BC. Пусть N – середина ребра AC. Тогда  MF = MN.  Поэтому
SM + MF = SM + MN.
  Пусть прямые SN и BC пересекаются в точке P. Тогда  SM + MF = SM + MN ≥ SN.  Это значит, что минимальный путь проходит через точку P.
  Заметим, что P – точка пересечения медиан треугольника ACS. Следовательно,  BP : PC = 1 : 2,  BP = ⅓ BC.

Ответ

Минимальный путь состоит из отрезков SP и PF, где  P ∈ BC,  BP = ⅓ BC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача 8943
Номер	8943