Задача 116503

Темы:    [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Условие

I – центр вписанной окружности треугольника ABC. Окружность, проходящая через точку I, касается сторон AB и AC в точках X и Y соответственно. Докажите, что отрезок XY касается вписанной в треугольник ABC окружности.

Решение

  Треугольники XAI и YAI, очевидно, равны, поэтому  XI = YI,  значит,  ∠IYX = ∠IXY.
  Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что  ∠BXI = ∠IYX = ∠IXY.
  Следовательно, биссектрисы четырёх углов четырёхугольник BXYC пересекаются в точке I, то есть I – центр вписанной в него окружности, которая совпадает с вписанной окружностью треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6317