ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116427
Темы:    [ Задачи на движение ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Индукция (прочее) ]
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

  а) Три богатыря едут верхом по кольцевой дороге против часовой стрелки. Могут ли они ехать неограниченно долго с различными постоянными скоростями, если на дороге есть только одна точка, в которой богатыри имеют возможность обгонять друг друга?
  А если богатырей
  б) десять?
  в) тридцать три?


Решение

Если богатыри стартуют из одной точки, и для каждой пары их скоростей u и v числа  u/u–v  и  v/u–v  – целые, то все обгоны происходят в точке старта. Для трёх богатырей подойдут скорости 2, 3 и 4. Для большего числа богатырей скорости строятся по индукции: по набору u, v, ..., w строится набор P – u,  P – v,  ...,  P – w,  P,  где  P = uv...w.


Ответ

Могут.

Замечания

На Турнире городов в младших классах давались пп. а) и б) (3 + 5 баллов), в старших – только п. в) (7 баллов). На Московской олимпиаде предлагался только п. в).

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 73
Год 2010
класс
Класс 8
задача
Номер 2010.8.4
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2009/2010
Номер 31
вариант
Вариант весенний тур, основной вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 5
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2009/2010
Номер 31
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 5

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .