ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116426
Темы:    [ Десятичная система счисления ]
[ Треугольник Паскаля и бином Ньютона ]
[ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сумма цифр натурального числа n равна 100. Может ли сумма цифр числа n³ равняться 1000000?


Решение

Достаточно взять число, у которого единицы стоят на 1-м, 10-м, 100-м, ..., 1099-м месте (считая справа).


Ответ

Может.

Замечания

Идеология. Рассмотрим многочлен  (1 + x1 + x2 + ... + x99)³.  Каждый из его коэффициентов равен 1, 3 или 6, а сумма коэффициентов равна 100³ (она получается, когда мы все переменные заменим единицами). Если вместо xk подставить 10pk так, что всем одночленам соответствуют разные степени десятки, то наши коэффициенты превратятся в цифры числа   (1 + 10p1 + ... + 10p99)³.  Требуемое условие выполняется, если  pk+1 > 3pk  (k = 0, ..., 99,
p0 = 0).  Действительно, пусть  i ≥ j ≥ k,  l ≥ m ≥ n,  i > l.  Одночлену xixjxk соответствует  10pi+pj+pk > 10pi > 103pl > 10pl+pm+pn,  что соответствует одночлену xlxmxn.

6 баллов.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 73
Год 2010
класс
Класс 10
задача
Номер 2010.10.4
олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2009/2010
Номер 31
вариант
Вариант весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .