Задача 116412
|
|
 |
Условие
Про функцию f(x) известно следующее: любая прямая на координатной плоскости имеет с графиком y = f(x) столько же общих точек, сколько с параболой y = x². Докажите, что f(x) ≡ x².
Решение
Проведём касательную l к параболе в произвольной точке A(a, a²). Эта касательная имеет с графиком Г функции f(x) ровно одну общую точку. Точки под этой касательной не могут принадлежать Г, поскольку каждая из них лежит на параллельной l прямой, не имеющей общих точек с Г. Точки прямой l, отличные от A, также не могут принадлежать Г: каждая из них находится под какой-то другой касательной к параболе. Следовательно, точка A (а значит, и любая точка параболы) принадлежит Г.
Замечания
1. См. также задачу М2184 из Задачника "Кванта" ("Квант", 2010, №4).2. 4 балла.
