ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116391
Темы:    [ Системы точек ]
[ Геометрические неравенства (прочее) ]
[ Доказательство от противного ]
Сложность: 3
Классы: 10,11
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Петя отметил на плоскости несколько (больше двух) точек, все расстояния между которыми различны. Пару отмеченных точек  (A, B)  назовём необычной, если A – самая дальняя от B отмеченная точка, а B – ближайшая к A отмеченная точка (не считая самой точки A). Какое наибольшее возможное количество необычных пар могло получиться у Пети?


Решение

  Пусть (A, B) – необычная пара I, а K – ещё одна отмеченная точка. Тогда   BK < AB < AK.  Это значит, в частности, что пары  (A, K)  и  (K, A)  – обычные (K и A не ближайшие друг к другу). Пары  (K, B)  и  (B, K)  – обычные (K и B не самые дальние друг от друга). Допустим, что еще какие-то две точки C, D образуют необычную пару II. Выпишем цепочку неравенств, помечая каждое номером необычной пары, из-за которой оно выполнено:
AB >I BC >II CD >II AD >I AB   – противоречие.
  Пример с одной необычной парой  (A, B)  – вершины треугольника ABC, где  AC > AB > BC.


Ответ

Одна пара.

Замечания

баллы: 4

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир городов
Турнир
Дата 2011/2012
Номер 33
вариант
Вариант осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
Задача
Номер 1

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .