Задача 116386

Темы:    [ Средняя линия треугольника ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Условие

Автор: Произволов В.В.

На стороне AB треугольника ABC взята такая точка P, что  AP = 2PB,  а на стороне AC – ее середина, точка Q. Известно, что  CP = 2PQ.
Докажите, что треугольник ABC прямоугольный.

Решение

Отложим на продолжении стороны AB отрезок  BD = PB.  Тогда PQ – средняя линия треугольника ACD. Следовательно,  CD = 2PQ = CP,  то есть треугольник PCD – равнобедренный. CB – его медиана, а значит, и высота.

Замечания

4 балла

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	2011/2012
Номер	33
вариант
Вариант	осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
Задача
Номер	2