(В. Баур, Ф.Штрассен) Дана программа вычисления значения некоторого многочлена P(x₁,..., x_n), содержащая только команды присваивания. Их правые части — выражения, содержащие сложение, умножение, константы, переменные x₁,..., x_n и ранее встречавшиеся (в левой части) переменные. Доказать, что существует программа того же типа, вычисляющая все n производных P/x₁,...,P/x_n, причём общее число арифметических операций не более чем в C раз превосходит число арифметических операций в исходной программе. Константа C не зависит от n.

   Решение

Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства серединных перпендикуляров к сторонам треугольника. ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На наибольшей стороне AB треугольника ABC взяли такие точки P и Q, что  AQ = AC,  BP = BC.
Докажите, что центр описанной окружности треугольника PQC совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Решение

Треугольник BPC – равнобедренный, поэтому биссектриса угла B совпадает с серединным перпендикуляром к стороне CP. Аналогично биссектриса угла A совпадает с серединным перпендикуляром к отрезку CQ. Но центр вписанной окружности треугольника ABC лежит на пересечении упомянутых биссектрис, а центр описанной окружности треугольника PQC – на пересечении упомянутых серединных перпендикуляров.

Замечания

Баллы: Турнир городов – 3, Регата – 6.

Источники и прецеденты использования