ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116370
Темы:    [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ]
[ Теория алгоритмов (прочее) ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Автор: Шноль Д.Э.

На дверце сейфа написано произведение степеней anbmck. Чтобы дверца открылась, надо заменить каждую из шести букв натуральным числом так, чтобы в произведении получился куб натурального числа. Пинки, не подумав, уже заменил какие-то три буквы числами. Всегда ли Брейн сможет заменить три оставшиеся, чтобы дверца открылась?

Решение

Разберем два случая.

I. Если Пинки заменил в~каждой из трех степеней только одну из букв, то Брейн может просто сделать каждый из трех сомножителей полным кубом. Действительно, если в выражении вида xy заменена только одна буква, то выбором оставшейся легко сделать его полным кубом (для этого можно либо x заменить на полный куб, либо y на число, кратное трем).

II. Пусть в каком-то из трех множителей Пинки заменил обе буквы. Тогда в каком-то из множителей, наоборот, не заменено ни одной. Пусть, например, это ck. Тогда Брейн может, например, подставить вместо c значение выражения anbm, а вместо k подставить двойку – и все произведение будет равно кубу числа anbm.

Ответ

Всегда.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Турнир им.Ломоносова
номер/год
Год 2011
задача
Номер 4

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .