Задача 116361

Темы:    [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ] [ Теорема синусов ] [ Признаки и свойства касательной ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 3- Классы: 8,9,10

Условие

Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей прямоугольного треугольника с катетом, равным 2, и противолежащим острым углом в 30°.

Решение

Рассмотрим треугольник ABC с прямым углом при вершине C, в котором BC = 2, ∠BAC = 30°. Тогда AB = 2BC = 4, . Если A₁, B₁ и C₁ – точки касания окружности, вписанной в треугольник, со сторонами BC, AC и AB соответственно, а r – радиус вписанной окружности с центром O, то четырёхугольник OA₁CB₁ квадрат со стороной r, поэтому

Тогда

Следовательно,

Пусть – полупериметр треугольника ABC, r_a – радиус окружности с центром O_a, касающейся катета BC в точке A₂, а продолжений гипотенузы AB и катета AC – в точках M и N соответственно. Тогда

а т.к. AM = AN, то AN = p. Четырёхугольник O_aNCA₂ – квадрат со стороной r_a, поэтому

Если r_b и r_c – радиусы вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся катета AC и гипотенузы AB, то аналогично найдём, что

Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2939