ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116334
Темы:    [ Вписанные и описанные окружности ]
[ Теорема синусов ]
[ Площадь четырехугольника ]
[ Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной ]
[ Угол между касательной и хордой ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9,10
В корзину
Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC  (AB < BC)  проведены высоты AM и CN. Точка O – центр описанной окружности треугольника ABC. Известно, что ∠ABC = β,  а площадь четырёхугольника NOMB равна S. Найдите сторону AC.


Решение

  На касательной к описанной окружности данного треугольника отметим точку P так, чтобы она и точка C лежали по разные стороны от прямой AB. Из теоремы об угле между касательной и хордой следует, что  ∠ABP = ∠C = ∠BNM,  поэтому  BP || MN,  а так как  OBBP,  то  OBMN.  Треугольник BMN подобен треугольнику BAC с коэффициентом cos β, значит,  MN = AC cos β.

  Пусть  OB = R  – радиус описанной окружности треугольника ABC. Тогда     Следовательно,  S = ½ MN·OB = ¼ AC² ctg β.  Отсюда  AC² = 4S tg β.


Ответ

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 458

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .