Задача 116332

Темы:    [ Признаки подобия ] [ Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие ] [ Признаки и свойства параллелограмма ]

Сложность: 3 Классы: 9,10

Условие

На сторонах AB и BC параллелограмма ABCD расположены точки N и M соответственно, причём  AN : NB = 3 : 2,  BM : MC = 2 : 5.  Прямые AM и DN пересекаются в точке O. Найдите отношения  OM : OA  и ON : OD.

Подсказка

Продолжите DN до пересечения с прямой BC и рассмотрите две пары подобных треугольников.

Решение

  Продолжим DN до пересечения с прямой BC в точке T. Положим  BM = 6a,  CM = 15a.  Из подобия треугольников TNB и DNA (коэффициент ⅔) находим, что  TB = ⅔ AD = ⅔ BC = 14a,  а из подобия треугольников TOM и DOA –  OM : OA = TM : AD = 20a : 21a.
  Аналогично находим, что  ON : OD = 6 : 35.

Ответ

20 : 21;  6 : 35.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2914