Задача 116326

Темы:    [ Метод координат ] [ Скалярное произведение ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В пространстве даны точки A(-1;2;0) , B(5;2;-1) , C(2;-1;4) и D(-2;2;-1) . Найдите:
а) расстояние от вершины D тетраэдра ABCD до точки пересечения медиан основания ABC ;
б) уравнение плоскости ABC ;
в) высоту тетраэдра, проведённую из вершины D ;
г) угол между прямыми BD и AC ;
д) угол между гранями ABC и ACD ;
е) расстояние между прямыми BD и AC .

Решение

а) Координаты точки M пересечения медиан треугольника ABC равны средним арифметичеким координат вершин треугольника, т.е. x_o==2 , y_o==1 , z_o==1 . Следовательно

DM== = .

б) Найдём координаты векторов:
=(5-(-1));2-2;-1-0)=(6;0;-1), =(2-(-1));-1-2;4-0)=(3;-3;4).
Пусть (a;b;c) — ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости ABC (вектор нормали). Тогда · =0 и · =0 , или

Положим a=1 . Тогда c=6 и b=(3a+4c)=9 . Уравнение плоскости по точке A(-1;2;0) и вектору нормали (a;b;c) имеет вид
a(x+1)+b(y-2)+c(z-0)=0 1(x+1)+9(y-2)+6(z-0)=0 x+9y+6z-17=0.

в) Высоту DH пирамиды ABCD найдём по формуле расстояния от точки до плоскости:
DH = = = .

г) Угол между прямыми BD и AC равен либо углу между векторами =(-2-5; 2-2;-1-(-1))= (-7;0;0) и =(3;-3;4) , либо дополняет этот угол до 180^o , поэтому
cos α = = = =.

д) Пусть =(a1;b1;c1) — вектор нормали плоскости ACD . Тогда · =0 и · =0 , где =(-2-(-1);2-2;-1-0)=(-1;0;-1) и =(3;-3;4) . Из системы

полагая a1=3 и c1=-3 , находим, что b1=-1 . Следовательно, в качестве вектора нормали плоскости ACD можно взять вектор =(3;-1;-3) .
Угол между плоскостями ABC и ACD равен либо углу между их векторами нормалей, либо дополняет его до 180^o . Следовательно,
cos β = = =

== = .

е) Через прямую AC проведём плоскость, параллельную прямой BD . Уравнение этой плоскости найдём по точке A(-1;2;0) и вектору =(a2;b2;c2) , перпендикулярному векторам =(3;-3;4) и =(-7;0;0) . Координаты этого вектора найдём из системы

В качестве такого вектора можно взять вектор =(0;4;3) . Уравнение искомой плоскости имеет вид 0(x+1)+4(y-2)+3(z-0)=0 , или 4y+3z-8=0 .
Расстояние между прямыми BD и AC равно расстоянию от любой точки прямой BD (например, от точки D(-2;2;-1) ), параллельной AC , до проведённой плоскости, т.е.
d== =.

Ответ

м) ; ╨) x+9y+6z-17=0 ; у) ; Я) arccos ; ж) arccos ; и) .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7329