Задача 116323

Темы:    [ Перпендикулярные плоскости ] [ Объем тетраэдра и пирамиды ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

В треугольной пирамиде каждое боковое ребро равно 1, а боковые грани равновелики. Найдите объём пирамиды, если известно, что один из двугранных углов при основании — прямой.

Решение

Пусть SH — высота данной треугольной пирамиды SABC с вершиной S , а двугранный угол при ребре BC равен 90^o .
Поскольку боковые рёбра пирамиды равны, высота пирамиды проходит через центр окружности, описанной около основания, а т.к. боковая грань SBC перпендикулярна плоскости основания, то высота пирамиды лежит в этой грани, значит, точка H лежит на ребре BC . Кроме того, треугольник SBC — равнобедренный, поэтому H — середина BC .
Центр H описанной окружности треугольника ABC лежит на стороне BC , поэтому треугольник ABC — прямоугольный, а его гипотенуза BC равна диаметру описанной окружности.
Боковые грани пирамиды равновелики, поэтому

SA· SB sin ASB = SB· SC sin BSC= SA· SC sin ASC,
откуда находим, что sin ASB= sin BSC= sin ASC , а т.к. BSC — наибольший из плоских углов при вершине пирамиды ( BC — наибольшая сторона треугольника ABC ), то BSC > 90^o , а ASB= ASC = 180^o- BSC .
Обозначим через R радиус описанной окружности прямоугольного треугольника ABC . Тогда BC=2R , а т.к. AB=AC , то AB=AC= R . По теореме косинусов
cos BSC = = =2-4R2,

cos ASB = = =2-2R2,
а т.к. BSC = 180^o- ASB , то cos BSC = - cos ASB , или 2-4R2=2R2-2 , откуда находим, что R= . Следовательно,
V_SABC=S_{Δ ABC}· SH= · R· R· =

=R2= · = .

Ответ

.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	7326