ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116293
Темы:    [ Свойства инверсии ]
[ Гомотетичные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Докажите, что если при инверсии относительно некоторой окружности с центром O окружность S переходит в окружность S' , то O — один из центров гомотетии окружностей S и S' .

Решение

Пусть при инверсии относительно окружности ω с центром O точка A , лежащая на окружности S , переходит в точку A' окружности S' с центром Q , MN — диаметр окружности S , лежащий на прямой OQ , M' и N' — образы точек M и N соответственно, K — отличная от A' точка пересечения луча OA с окружностью S' .
Из подобия треугольников OAN и ON'A' следует, что точки A , A' , N' и N лежат на одной окружности, поэтому

OKM'=180o- A'N'M'= ON'A' = OAN,

. Значит, M'K || NA . Следовательно, точка O — центр гомотетии, переводящей окружность S в окружность S' .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6131

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .