|
|
 |
Условие
Прямоугольник разбили на 121 прямоугольную клетку десятью вертикальными и десятью горизонтальными прямыми. У 111 клеток периметры целые.
Докажите, что и у остальных десяти клеток периметры целые.
Решение
Назовём клетки, про периметры которых известно, что они целые, известными, а остальные клетки – неизвестными. Поскольку строк и столбцов в получившейся таблице – по 11, а неизвестных клеток всего 10, можно отметить строку и столбец, в которых все клетки – известные. Возьмём неизвестную клетку K. Легко проверить, что её периметр P равен P1 + P2 – P0, где P1 – периметр клетки отмеченного столбца, стоящей в одной строке с K, P1 – периметр клетки отмеченной строки, стоящей в одном столбце с K, а P0 – периметр клетки, стоящей на пересечении отмеченных строки и столбца. Так как все числа P1, P2 и P0 – целые, число P – тоже целое.
Замечания
4 балла
