Задача 116234

Темы:    [ ГМТ - окружность или дуга окружности ] [ Подобные треугольники (прочее) ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10,11

Условие

Автор: Сергеев И.Н.

Внутри треугольника ABC взята такая точка O, что  ∠ABO = ∠CAO,  ∠BAO = ∠BCO,  ∠BOC = 90°.  Найдите отношение  AC : OC.

Решение

  Построим точку D, симметричную точке C относительно прямой BO (см. рис.). Тогда  ∠BDO = ∠BCO = ∠BAO.  Значит, точка D лежит на описанной окружности треугольника ABO, и  ∠ADO = ∠ABO = ∠CAO.  Значит, треугольник DAC подобен треугольнику AOC. Следовательно,  DC : AC = AC : OC,  или  2OC : AC = AC : OC,  откуда   .

Ответ

.

Замечания

Есть и другие решения, в которых используются теорема Чевы для треугольника ABC и теорема синусов для треугольников AOB, AOC и BOC.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2011
Номер	74
класс
Класс	11
задача
Номер	3