Задача 116218

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Трапеции (прочее) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

Условие

Автор: Акопян А.В.

В трапеции ABCD с основаниями AD и BC лучи AB и DC пересекаются в точке K. Точки P и Q – центры описанных окружностей треугольников ABD и BCD. Докажите, что  ∠PKA = ∠QKD.

Решение

Заметим, что  ∠ADB = ∠DBC  (см. рис.). С другой стороны,  ∠APB = 2∠ADB.  Аналогично  ∠DQC = 2∠DBC, а значит,   ∠APB = ∠DQC.

Следовательно, равнобедренные треугольники APB и DQC подобны. Поэтому  ∠KAP = ∠KDQ  и  AP : DQ = AB : DC.  Вместе с тем из теоремы о пропорциональных отрезках  AK : DK = AB : DC,  поэтому треугольники APK и DQK подобны по двум сторонам и углу между ними. Значит,
∠PKA = ∠QKD.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Год	2011
Номер	74
класс
Класс	9
задача
Номер	5