|
|
 |
Условие
Дан произвольный треугольник ABC. Постройте прямую, проходящую через вершину B и делящую его на два треугольника, радиусы вписанных окружностей которых равны.
Решение
Пусть BD — искомая прямая, O1, O2, I — центры окружностей, вписанных в треугольники ABD, BCD и ABC (см. рис.). Tогда O1 лежит на отрезке AI, O2 — на отрезке CI, O1 O2 || AC и ∠O1BO2 = ½∠B.
Из того, что указанными свойствами точки O1 и O2 определяются однозначно, вытекает следующее построение. Построим дугу, из точек которой отрезок AC виден под углом ½∠B, и найдем точку P ее пересечения с лучом IB. Прямые, проходящие через B и параллельные PA и PC, пересекают IA и IC соответственно в точках O1, O2. Tреугольники PAC и BO1O2 гомотетичны с центром I, поэтому O1O2 || AC и ∠O1BO2 = ½∠B. Cледовательно, прямая, симметричная BA относительно BO1, является искомой.
Задача всегда имеет решение, и оно единственно.
