Задача 116160

Темы:    [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Свойства симметрии и центра симметрии ]

Сложность: 4 Классы: 10,11

Условие

Автор: Блинков А.Д.

AD и BE — высоты треугольника ABC. Оказалось, что точка C', симметричная вершине C относительно середины отрезка DE, лежит на стороне AB. Докажите, что AB – касательная к окружности, описанной около треугольника DEC'.

Решение 1

Четырёхугольник ABDE – вписанный, поэтому  ∠CDE = ∠CAB.  Так как  C'D || CE,  то  ∠CAB = ∠DC'B,  а так как  C'E || CD,  то  ∠CDE = ∠C'ED.  Значит,  ∠C'ED = ∠DC'B,  откуда и следует утверждение задачи.

Решение 2

Пусть H – ортоцентр треугольника ABC, тогда точки D и E лежат на окружности с диаметром CH.

Kасательная к этой окружности в точке C перпендикулярна CH, то есть параллельна AB. Треугольники DEC' и ECD симметричны относительно середины DE, значит, симметричны и их описанные окружности, а также касательные, проведенные к этим окружностям в симметричных точках C' и C. Так как центрально-симметричные прямые параллельны, то касательная в точке C' к описанной окружности треугольника DEC' совпадает с прямой AB.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название	Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер	09 (2011 год)
Дата	2011-04-10
класс
Класс	10-11 класс
задача
Номер	1