ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116159
Тема:    [ Отрезок внутри треугольника меньше наибольшей стороны ]
Сложность: 3+
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Один треугольник лежит внутри другого.
Докажите, что хотя бы одна из двух наименьших сторон (из шести) является стороной внутреннего треугольника.


Решение

  Пусть   AB ≤ AC ≤ BC – стороны внешнего треугольника, M – середина стороны BC.

  Первый способ. Заметим, что стороны треугольников ABM и ACM не превосходят AC.
  Действительно  BC < AB + AC ≤ 2AC,  то есть  BM = MC = ½ BC < AC.
  Кроме того, согласно задаче 55147  AM < AC.
  С другой стороны, хотя бы в одном из треугольников ABM или ACM лежат две вершины внутреннего треугольника (рис. слева). Значит, соединяющая их сторона не превосходит наибольшей стороны в этом треугольнике (см. задачу 57475 а), а, значит, не превосходит AC, и даже меньше неё, так как вершины внутреннего треугольника не совпадают с вершинами внешнего.
  Итак, хотя бы одна из сторон внутреннего треугольника меньше средней стороны внешнего, откуда и следует утверждение задачи.

           

  Второй способ. Проекции всех вершин внутреннего треугольника на прямую BC лежат внутри отрезка BC (рис. справа). Значит, проекция одной из его сторон меньше ½ BC. Проекция этой же стороны на перпендикулярную прямую меньше высоты внешнего треугольника, опущенной на BC. С другой стороны, проекция средней стороны внешнего треугольника на BC не меньше ½ BC, а на перпендикулярную прямую – равна высоте. Следовательно, одна из сторон внутреннего треугольника короче средней стороны внешнего.

Замечания

Aналогично можно доказать более сильное утверждение: по крайней мере одна из двух меньших сторон внешнего треугольника длиннее соответствующей стороны внутреннего.

Источники и прецеденты использования

олимпиада
Название Московская устная олимпиада по геометрии
год/номер
Номер 09 (2011 год)
Дата 2011-04-10
класс
Класс 8-9 класс
задача
Номер 6

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .