|
|
 |
Условие
B равнобедренном треугольнике ABС на боковой стороне BС отмечена точка M так, что отрезок MС равен высоте треугольника, проведённой к этой стороне, а на боковой стороне AB отмечена точка K так, что угол KMС – прямой. Hайдите угол ACK.
Решение
По условию высота CL = CM (см. рис.). Следовательно, прямоугольные треугольники CLK и CMK равны по гипотенузе и катету, а CK – биссектриса угла LCM. Пусть ∠BAC = ∠BCA = α, тогда ∠LCA = 90° – α, а ∠LCB = α – (90° – α) = 2α – 90°. Значит,
∠ACK = ∠ACL + ∠LCK = 90° – α + ½ (2α – 90°) = 45°.
Ответ
45°.
Замечания
В этой задаче возникает следующая геометрическая конструкция. Рассмотрим квадрат NXMC (см. рис.). Заметим, что XC – биссектриса угла AXK, кроме того, ∠NAC = ∠ACM = ∠CAB, следовательно, AC – биссектриса угла NAK. Таким образом, C – центр вневписанной окружности треугольника AXK, откуда ∠ACK = 90° – ½ ∠AXK = 45°.
