ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 116105
Темы:    [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 3
Классы: 8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Расстояние между параллельными прямыми равно 24. На одной из них лежит точка C , на другой — точки A и B , причём треугольник ABC — равнобедренный и остроугольный, а его боковая сторона равна 25. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC .

Решение

Заметим, что либо AC=BC , либо AC=AB .
Рассмотрим первый из этих случаев (рис.1): AC=BC=25 . Пусть H — точка касания вписанной окружности треугольника ABC с основанием AB , r1 — радиус окружности, вписанной в треугольник ABC . Тогда CH — высота и медиана треугольника ABC . Из прямоугольного треугольника AHC находим, что

AH= = = =7.

Тогда
SΔ ABC=AH· CH=7· 24=168, SΔ ABC=(AB+BC+AC)r1= (14+25+25)r1=32r1.

Из равенства 32r1=168 находим, что r1= . Рассмотрим второй случай (рис.2): AB=AC=25 . Пусть CH — высота треугольника ABC , а радиус окружности, вписанной в треугольник ABC , равен r2 . Тогда AH=7 , BH=AB-AH=25-7=18 (треугольник ABC — остроугольный). Из прямоугольного треугольника BCH находим, что
BC= = = 6=6· 5 = 30,


SΔ ABC=AB· CH = · 25· 24=300, SΔ ABC=(AB+AC+BC)· r2= 40r2.

Из равенства 40r2=300 получаем, что r2= .

Ответ

или .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 6148

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .